三角形三边关系（三角形三边关系要学好）

三角形三边关系（三角形三边关系要学好）

三角形是最基本的多边形，其它多边形，如四边形、五边形等在学习时往往转化为三角形。因此学好三角形的有关知识非常重要。

三角形的第一节:与三角形有关的线段包含三部分内容。一、三角形及其有关概念(理解)。二、三角形的分类(理解)。三、三角形三边关系(理解并掌握，并能运用三边关系解决问题)。

一、三角形及其有关概念。

1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

定义说明三角形具有的结构特征为:

①不在同一直线上的三条线段。

②三条线段首尾顺次连接。

2、三角形的边:组成三角形的三条线段叫三角形的边。

3、三角形的内角:三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角。

例:如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是

AD上一点。

(1)图中共有____个三角形。

(2)以AC为边的三角形有____。

(3)在△ACE中，∠CAE的对边是____。

解析:1、在查找图中有几个三角形时，可以三角形的某个顶点为起始点，找完与它有关的三角形，然后盖上这个点不看，再依次查找。

如上图中可以先查找出以A为顶点的三角形。△ABC，△ABD，△ABE，△ADC，△AEC。然后不看A点，再查找以B为顶点的三角形。△BDE，△BCE。然后不看A、B两点，再查找以C为顶点的三角形，△CDE。

2、以AC为边的三角形有△ACE，△ACD，

△ACB。

3、在△ACE中，∠CAE的对边是CE。

二、三角形的分类。

1、按角的大小分:①锐角三角形(三个角都小于90°)

②直角三角形(有一个角是90°)

③钝角三角形(有一个角大于90°)

2、按边分

①三边都不相等的三角形。

②等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形)

三、三角形三边关系。

1、三角形两边之和大于第三边。

2、三角形两边之差小于第三边。

如图:依据两点之间线段最短，

可得AB+AC﹥BC，BC+AC﹥AB

因此可得BC－AC﹤AB﹤BC+AC。

为加深学生的印象，教师也可通过用三根木棒组合三角形的方式，让学生动手后探究得出。

该定理在实际中的应用有以下五方面:

1、判断所给三条线段能否组成三角形。

例:下列长度的三条线段，能否组成三角形。

①4cm，9cm，5cm。

②15cm，8cm，8cm

③6cm，7cm，13cm

④三条线段的长度比为2:3:5

判断方法:当最短两边的和大于最长边时能组成三角形，等于或小于最长边时不能。因此②能组成，其余不能组成。

2、求第三边的取值范围。

例1、长度分别为2，7，x的三条线段能组成三角形，则x的取值可以是( )

A.4 B.5 C.6 D.9

分析:因为7－2﹤x﹤7+2，

即5﹤x﹤9，所以应选C。

3、求等腰三角形的边长或周长。

例1、若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为( )

A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm

分析:当2cm为底边时，则腰长为(10－2)÷2=4

此时三角形三边为2cm，4cm，4cm能组成三角形。

当2cm为腰长时，底边长为10－2－2=6

此时三角形的三边长为2cm，2cm，6cm，

因为2+2﹤6，所以不能组成三角形，因此应选A。

例2、若实数m，n满足丨m－2丨+√n－4=0，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的长，则该等腰三角形的周长是_____。

分析:∵丨m－2丨≥0，√n－4≥0，

丨m－2丨+√n－4=0，

∴m－2=0，n－4=0，

∴m=2，n=4

当2为腰长时，三角形三边长为2，2，4，因为2+2=4，不能组成三角形。当2为底长时，三角形三边长为4，4，2，因为2+4﹥4，能组成三角形，此时三角形周长为10。

4、化简含绝对值的式子。

例:已知a，b，c为三角形的三边长，化简

丨b+c－a丨+丨b－c－a丨－丨a－b+c丨

解:∵a，b，c为三角形的三边长，

∴b+c－a﹥0，b－c－a<0，a－b+c﹥0

∴丨b+c－a丨+丨b－c－a丨－丨a－b+c丨

=(b+c－a)+[－(b－c－a)]－(a－b+c)

=b+c－a－b+c+a－a+b－c

=－a+b+c

5、证明线段的不等关系

例:已知点O为△ABC内部一点，求证AB+AC﹥OB+OC。

分析:因为要证明的四条线段间的关系不是同一个三角形的三边，可利用添加辅助线的方式把它们联系起来。

证明:延长BO交AC于点D

∵AB+AD﹥BD，BD=OB+OD

∴AB+AD﹥OB+OD

又∵OD+DC﹥OC

∴AB+AD+OD+DC﹥OB+OD+OC

又∵AD+DC=AC

∴AB+AC+OD﹥OB+OD+OC

∴AB+AC﹥OB+OC

角形 线段 边长 三条 三边