时域信号时移在频域上的体现_学习数字信号处理的诀窍：时域和频域的灵活切换

学习数字信号处理的诀窍：在时域和频域之间灵活切换

四种傅立叶分析方法

学好数字信号处理的第三招——时域频域灵活切换

首先阐述了四种傅里叶分析的特点和意义，并介绍了离散傅里叶变换的概念。然后阐述学好数字信号处理的第三招，即实时域和频域的灵活切换。

一、四种傅里叶分析及离散傅里叶变换的介绍DFT傅里叶分析是连接时域和频域的桥梁，在信号处理中起着非常重要的作用。傅立叶分析包括四种不同的形式，即连续时间傅立叶级数(CTFS)、连续时间傅立叶变换(CTFT)、离散时间傅立叶级数(DTFS、离散时间傅立叶级数)和离散时间傅立叶变换(DTFT)。这四种傅立叶分析的对象和结果都有一个特点：要么在时域连续(CFS)，要么在频域连续(DTFT)，要么在时域和频域都连续(CTFT)。DFS虽然在时域和频域上是离散的，但在时域上是无限的。计算机不能直接处理连续信号，只能处理采样后的离散数据；计算机无法处理无限信号，实际信号长度是有限的。

以上四种形式的傅立叶分析仅具有理论意义，不适合计算机处理。然而，结合DTFS和DTFT，有限长度序列被扩展到周期性离散信号，从而引入离散傅立叶变换(DFT)的概念。从本质上来说，DFT并不包含新的理论，只是为了方便计算机处理而引入的工具，用它来计算离散采样信号的频率。有限长序列周期性扩展后，可以计算其离散傅立叶级数，其系数是未扩展序列的离散傅立叶变换(连续周期函数)在频率轴上的等间隔采样，保证了其物理意义，可以用计算机实现。当序列长度相对较长时，直接计算DFT的系数是非常复杂的。如果计算时间过长，对于实时通信来说毫无意义，所以需要引入一种快速算法，即快速傅里叶变换(FFT)。将DFT应用于连续信号的频谱分析会引起一系列问题，如频谱泄漏、栅栏效应、分辨率等。使用DFT进行频谱分析时，需要特别注意这些概念。

二、学好数字信号处理的第三招——时域频域灵活切换

前面介绍了学好数字信号处理的两个小技巧，即MATLAB的应用和复数与向量的应用。第三个技巧是信号在时域和频域的灵活切换。

信号有两个属性，即实时域和频域，这两个属性在一瞬间是不可分的，就像硬币的两面。学好数字信号处理，需要在时域和频域之间灵活切换。这种转换的数学工具是傅立叶分析(包括四种形式)。数学中有一个特殊的分支叫做傅立叶分析。数学家们对傅立叶分析进行了深入的研究，为工程师们指明了工程发展的方向，开辟了新的领域。

人生活在时间和空间中，但人的很多感受都与频率有关。比如，人耳可以欣赏优美的音乐和动听的声音，因为好的音乐在频域上更完美，好的“天籁之音”在频域上更“纯粹”。不同乐器在频域上的区分是很明显的，所以有经验的音乐人一听某一种音乐就能知道演奏的是什么乐器。人耳是高度发达的“频谱分析仪”，已经进化了几亿年。它能准确分析音乐，加上后天的长期训练，它能分辨出细微的频率变化。人们可以欣赏五彩缤纷的世界和各种艺术品，因为眼睛也是经过亿万年进化而高度发达的“频谱分析仪”，可以感受到不同频率的光。一个三岁的孩子很容易分辨出父母的声音。这是因为孩子的听觉系统经历了几年的听力“训练”。要让计算机区分两个特定的人，需要经过同样复杂的训练，在时域和频域找到各种特征参数，反复验证效果。通过感觉器官，人们可以快速获得信号在频域的几乎所有信息，但用计算机处理信号要复杂得多，必须设计各种“算法”来分析信号。

信号需要在时域和频域之间频繁地来回转换，转换的桥梁就是傅立叶分析。信号处理需要充分挖掘和利用信号在频域的物理性质，因此成为一门独立的学科。信号处理需要先在时域观察信号的特性，然后在频域观察其特性，再在频域处理后在时域观察其特性，或者同时在时域和频域观察信号的特性。有时时域的混沌信号隐藏了频域的大量信息，反之亦然。有些根本无法在时域处理，必须转换到频域进行处理，再回到时域感受处理的结果。学习数字信号处理需要充分理解信号和系统在频域中的物理意义，根据需要在时域和频域之间来回切换，这是学习信号处理的基本思路，而不是将信号孤立在时域和频域中。让我们举一个简单的例子来说明，在一个域中杂乱无章的信号经过适当的处理后，在另一个域中会找到它们的规律性。比如下图的信号是时域的，看起来很混乱，没有规律。

但通过分析信号的功率谱(功率谱是指平稳功率信号的功率在频域的分布，功率信号是指功率有限的信号)，可以清楚地看到有两个谱峰，一个在30 Hz左右，另一个在70 Hz左右，说明这个信号包含两个周期信号，但这两个周期信号隐藏在一个类似于噪声的信号中，在时域上是看不到的。

上面提到的平稳功率信号，“平稳”这个词在信号分析中有非常严格的定义。平稳性包括严格平稳性和宽平稳性。有兴趣的同学可以继续学习讲座《随机信号分析》，这是《数字信号处理》的后续课。后者分析确定信号，前者分析随机信号。随机信号的分析需要引入许多新概念，如期望、方差、自相关函数、宽平稳性、功率谱、遍历性等。

原标题：学好数字信号处理的第三招——时域频域灵活切换。

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