详解低通滤波器的设计原理_详解低通滤波器的设计

1.两个滤波器都是数字滤波器。根据脉冲响应的不同，数字滤波器分为有限脉冲响应(FIR)滤波器和无限脉冲响应(IIR)滤波器。对于FIR滤波器，脉冲响应在有限时间内衰减到零，其输出仅取决于当前和过去的输入信号值。对于IIR滤波器，理论上冲激响应应该是无穷大，其输出不仅取决于当前和过去的输入信号值，还取决于过去的信号输出值。

2.有限脉冲响应滤波器。有限意味着它的脉冲响应是有限的。与IIR相比，它具有线性相位和易于设计的优点。这也说明IIR滤波器存在相位非线性，不容易设计的缺点。另一方面，IIR有FIR没有的缺点，就是设计相同参数的滤波器，FIR比IIR需要更多的参数。这也意味着DSP的计算量要增加。DSP需要更多的计算时间，影响了DSP的实时性能。

以下是低通滤波器的设计。

FIR的设计：

FIR滤波器的设计比较简单，就是设计一个数字滤波器来近似一个理想的低通滤波器。通常这种理想的低通滤波器是频域中的矩形窗口。根据傅里叶变换，我们可以知道这个函数是时域的采样函数。通常这个函数的表达式是：

Sa (n)=sin (n )/n ，但这个采样序列是无限的，计算机无法计算。所以我们需要截断这个采样函数。也就是增加一个窗口功能。它就是传说中的窗户。也就是说，将这个时域采样序列乘以一个窗函数，将这个无限时域采样序列切割成有限序列值。但是加窗后这个采样序列的频域也受到影响：此时频域不再是一个理想的矩形窗口，而是一个带过渡带、电阻有波动的低通滤波器。通常根据窗函数的不同，采样信号加窗后在频域得到的低通滤波器阻带衰减是不同的。通常，我们根据这个阻带衰减来选择合适的窗函数。如矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗、凯撒窗等。在选定一个特定的窗函数后，根据所设计的滤波器的参数计算出该窗函数所需的阶数和表达式。然后将这个窗函数乘以采样序列，就可以得到实际滤波器的冲激响应。

IIR(双线性变换法)的设计；

IIR的设计思路是：根据要设计的滤波器的参数，确定一个模拟滤波器的传递函数，然后根据这个传递函数，用双线性变换或脉冲响应不变性方法设计数字滤波器。它的设计比较复杂，复杂性在于其模拟滤波器传递函数H(s)的确定。我们可以让软件意识到这一点。那么，我们来说说它的具体实现步骤：首先，你要确定你需要什么样的滤波器，巴特沃兹型，切比雪夫型，或者其他类型的滤波器。选择模型时，可以根据滤波器的设计参数和计算公式确定模型的阶数和传递函数的表达式。通常这个过程中还存在预失真的问题(这只是双线性变换法中需要注意的问题，脉冲响应不变量法中不存在这个问题)。确定H(S)后，通过双线性变换可以得到数字域的差分方程。

3.一些书中讨论了IIR和FIR之间的比较。我引用陈的《数字信号处理教程——MATLAB解释与实现》:

从性能上来说，IIR滤波器的传递函数包括零点和极点两组可调因子，极点的唯一极限在单位圆内。因此，可以用更低的阶数、更少的存储单元、更少的计算和更高的效率来获得高选择性。但这种高效率是以相位非线性为代价的。选择性越好，相位非线性越严重。FIR滤波器传递函数的极点固定在原点，不能移动。它只能通过改变零位来改变其性能。因此，为了实现高选择性，必须使用更高的阶数；对于相同的滤波器设计指标，FIR滤波器所需阶数可能比IIR滤波器高5-10倍。结果成本更高，信号延迟更大。根据线性相位的要求，IIR滤波器必须加入全通网络进行相位校正，这也大大增加了滤波器的阶数和复杂度。然而，FIR滤波器可以得到严格的线性相位。

在结构上，IIR滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点在单位圆内的位置。由于有限字长效应，运算过程中会对系数进行舍入，从而引起极移。这种情况有时会导致稳定性问题，甚至寄生振荡。相反，只要FIR滤波器采用非递归结构，理论上或实际的有限精度运算都不存在稳定性问题，因此频率特性误差也较小。另外，FIR滤波器可以采用快速傅立叶变换算法，在相同阶数下运算速度可以快很多。

此外，我们还应该看到，IIR滤波器设计简单，但主要用于设计具有分段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通和带阻等，这些滤波器往往离不开模拟滤波器的模式。FIR滤波器要灵活得多，特别是它很容易适应一些特殊的应用，如构成数字微分器或希尔伯特变换器，因此它具有更大的适应性和广阔的应用领域。

从上面的简单比较可以看出，IIR和FIR滤波器各有优势，在实际应用中要从多方面进行选择。从使用要求来看，IIR更适用于对相位要求不敏感的场合，如语言交流，以充分发挥其经济高效的特点；对于图像信号处理、数据传输等以波形形式承载信息的系统，对线性相位的要求更高。如果条件允许，最好使用FIR滤波器。当然，实际应用中可能需要考虑的因素更多。

无论IIR还是FIR，阶数越高，信号延迟越大；同时，在IIR滤波器中，阶数越高，系数的精度越高，否则容易造成有限字长的误差，将极点移出单位圆。所以顺序的选择是综合考虑的。

IIR滤波器(切比雪夫滤波器)滤波器的比较(IIR和FIR，数字和模拟)第19、20、21章主要讲IIR滤波器和滤波器的比较。

IIR滤波不使用卷积运算，而是使用递归运算，所以速度快，但性能上不一定比FIR滤波好。IIR的冲击响应由指数衰减信号组成。

IIR输入和输出的递归关系为：

IIR的递归系数与其频率响应之间的关系可以用z变换来转换，这里不涉及。

通过采用不同的递归系数(下图中的A和B)，可以实现不同的滤波：

当然这是最简单的应用，取递归系数的方法有一定的重音和公式，此处省略。

FIR可以是线性相位，即脉冲响应是对称的，而IIR通常是非线性相位。这是因为FIR在设计时就决定了它的时域波形和频率响应，而IIR在设计时决定了递归系数，不能决定它的波形是什么样子。

为了使IIR实现线性相位，可以进行双向操作，如下图所示：

切比雪夫滤波

切比雪夫滤波应用于频域分频，性能无法与sinc窗函数滤波相比，但速度非常快。

切比雪夫响应是一种数学策略，通过允许频率响应中出现纹波来实现更快的滚降。随着纹波增加(不好)，滚降变得更尖锐(好)。

对极点的理解：

极点越多，性能越好。

可以通过查表来确定滤波器的系数。

各种过滤器的比较

1.模拟与数字

如果信号需要滤波，是否在模拟级滤波？还是数字化后过滤？

对比下图可以看出，数字滤波具有模拟滤波无法达到的性能，但速度较慢，模拟滤波的幅度和频率动态范围较大。

本例中模拟滤波的实现：

2.sinc窗函数与切比雪夫

下图做了对比。

Sinc窗函数采用卷积运算，而切比雪夫采用递归方程。当然卷积可以用fft卷积来做，也就是先DFT，然后频域四则运算，再DFT逆变换，可以提高速度，但还是没有递归方程快。另一方面，sinc窗函数的滤波性能可以做得很好。

3.移动平均线与单极

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