微分形式（几何化思维下的三角函数微分形式）

微分形式（几何化思维下的三角函数微分形式）

三角函数的微分形式资料上都是从纯分析的角度得出，逻辑严谨，但缺乏直观，本篇就从几何角度出发得出直观的三角函数微分形式。

提起三角函数，首先联想到的就是圆，而圆中又以单位圆应用最为广泛，首先我们来看一个单位圆，它的方程就是x^2+y^2=1。

那么它的x坐标就是cosθ, y的坐标是sinθ

如果我们将单位圆的旋转半径逆时针增加一个微小的角度Δθ，那么y坐标同样增加一个微小的长度Δy.具体如下图所示

根据你的初高中知识，圆的弧长=半径x旋转角度

所以单位圆上旋转微小的Δθ后，所以增加的微小的弧长就是Δθ，下图所示

为了更好的观察我们把它移出来，当Δθ趋于0时，下图中Δθ对应的弧长就是一条直线，这也是无穷小的思想概念，所以颜色深的阴影部分就是一个微小的直角三角形。

我们已经知道，当Δθ趋于0时，Δθ对应的弧长就是一条直线，因为直线是有弧长退化而来的，弧长和直线不断逼近，最终重合，所以这条直线就是圆上的切线，既然是切线根据你的三角知识，就有如下两个相等的α角，

我们继续，在整个单位圆中Δθ趋于0时，由于弧长演化成该点的切线，那么如下两个三角形肯定相似，这个很容易理解的

所以根据你已经掌握的微分知识，Δθ=dθ，Δy=dy，因为y=sinθ，这两个三角形又相似，所以得出dsinθ/dθ=Δy/Δθ=x/1=cosθ

这是从形象直观的几何关系中得出的三角函数的导数形式。对于cosθ的导数你可以做同样的处理，有兴趣的伙伴可以动手去试一试。

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